что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это кратчайшее расстояние между ними, которое всегда будет постоянным и одинаковым для любых двух точек на этих прямых. В геометрии это расстояние измеряется по линии, которая перпендикулярна обеим прямым. Чтобы рассчитать его, важно учитывать, что параллельные прямые не пересекаются, и расстояние между ними не изменяется вдоль их длины.

Развернутый ответ:

1. Параллельные прямые:
   Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Это значит, что углы между этими прямыми всегда равны нулю, и они всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга по всей своей длине. Векторы, которые направляют эти прямые, также будут параллельны.

2. Кратчайшее расстояние:
   Если мы говорим о расстоянии между двумя параллельными прямыми, то нужно понимать, что это всегда будет минимальное (кратчайшее) расстояние, которое можно измерить. Оно будет перпендикулярным обеим прямым, потому что линии, перпендикулярные обеим параллельным прямым, всегда будут наименьшими по длине, если провести такие линии из произвольных точек на этих прямых.

3. Формула для расстояния:
   Рассмотрим две параллельные прямые в пространстве, заданные уравнениями:

   • $P_1:\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda \mathbf{d}$, где $\mathbf{a}$ — точка на первой прямой, $\mathbf{d}$ — вектор направления этой прямой, а $\lambda$ — параметр, определяющий все точки первой прямой.

   • $P_2:\mathbf{r}=\mathbf{b}+\mu \mathbf{d}$, где $\mathbf{b}$ — точка на второй прямой, $\mu$ — параметр, определяющий все точки второй прямой.

   Здесь $\mathbf{d}$ — вектор направления обеих прямых, так как они параллельны.

   Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти, если взять вектор, соединяющий любые точки на этих прямых, например, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Тогда расстояние между прямыми можно выразить через векторное произведение:

   $$D=\frac{|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times \mathbf{d}|}{|\mathbf{d}|}$$

   где:

   • $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ — вектор, соединяющий точки $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ на двух прямых,

   • $\mathbf{d}$ — вектор направления прямых,

   • $\times$ — векторное произведение.

   Векторное произведение дает вектор, перпендикулярный и к вектору $\mathbf{b}-\mathbf{a}$, и к вектору $\mathbf{d}$, и его длина будет равна площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Разделив на длину вектора $\mathbf{d}$, мы получаем перпендикулярное расстояние.

4. Интерпретация и практическое использование:
   Это расстояние является постоянным и не зависит от выбора точек на прямых, потому что они параллельны и не меняют своей геометрической конфигурации. В реальной жизни такие вычисления могут быть полезны при определении расстояний между дорогами, линиями электропередач или другими объектами, которые должны располагаться на фиксированном расстоянии друг от друга.