как решать квадратные уравнения через дискриминант

Решение квадратных уравнений через дискриминант — это стандартный и важный метод в алгебре. Давай разберём этот процесс поэтапно, подробно объяснив, что такое дискриминант, как его вычислять, и как он помогает находить корни уравнения.

1. Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называют уравнение вида:

$ax^2 + bx + c = 0$

где:

$a$ , $b$ , и $c$ — коэффициенты, причём $a \neq = 0$ , иначе уравнение не будет квадратным;
$x$ — переменная, которую нужно найти.

2. Дискриминант

Дискриминант — это специальная величина, которая помогает решить квадратное уравнение. Он определяется по формуле:

$D = b^2 — 4ac$

где:

$D$ — дискриминант,
$a$ , $b$ , и $c$ — коэффициенты квадратного уравнения.

Значение дискриминанта подскажет, сколько корней у уравнения и какие они. Существуют три основные ситуации в зависимости от значения $D$ .

3. Возможные случаи для дискриминанта

1. Если $D > 0$ :

У уравнения два разных действительных корня.
Корни можно найти по формулам:

$x1=−b+D2a,x2=−b−D2ax_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a}, quad x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a}$

Это означает, что уравнение имеет два различных корня. Например, если $D = 9$ , то корни будут $x1=−b+32ax_1 = frac{-b + 3}{2a}$ и $x2=−b−32ax_2 = frac{-b — 3}{2a}$ .

2. Если $D = 0$ :

У уравнения один корень (или два одинаковых корня, которые совпадают).
В этом случае формула для нахождения корня упрощается:

$x=−b2ax = frac{-b}{2a}$

Уравнение имеет два одинаковых корня, то есть корень повторяется. Пример: если $D = 0$ , то уравнение имеет один корень.

3. Если $D < 0$ :

У уравнения нет действительных корней, но есть комплексные корни.
В этом случае можно записать корни через мнимую единицу $i$ , где $i = - 1$ . Формула для комплексных корней будет такой:

$x1=−b+i∣D∣2a,x2=−b−i∣D∣2ax_1 = frac{-b + isqrt{|D|}}{2a}, quad x_2 = frac{-b — isqrt{|D|}}{2a}$

Здесь $∣ D ∣$ — это модуль дискриминанта (то есть положительное значение дискриминанта, если $D < 0$ ).

4. Пример решения

Возьмём квадратное уравнение:

$2×2+4x−6=02x^2 + 4x — 6 = 0$

Шаг 1: Найдём дискриминант. Подставим коэффициенты $a = 2$ , $b = 4$ , и $c = - 6$ в формулу для дискриминанта:

$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64$

Шаг 2: Так как $D > 0$ , у уравнения два разных корня. Используем формулы для корней:

$x1=−b+D2a=−4+642×2=−4+84=1x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-4 + sqrt{64}}{2 times 2} = frac{-4 + 8}{4} = 1$
$x2=−b−D2a=−4−642×2=−4−84=−3x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-4 — sqrt{64}}{2 times 2} = frac{-4 — 8}{4} = -3$

Ответ: корни уравнения — $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$ .

5. Заключение

Использование дискриминанта для решения квадратных уравнений — это быстрый и эффективный метод. Важно правильно вычислить дискриминант и анализировать его значение:

$D > 0$ : два разных корня;
$D = 0$ : один (двойной) корень;
$D < 0$ : комплексные корни.

Этот метод позволяет быстро находить корни даже в самых сложных уравнениях.