как найти вписанный угол в окружности

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла касаются двух хоров окружности. Задача состоит в том, чтобы найти величину такого угла, и для этого нужно понять несколько теоретических аспектов, а также использовать соответствующие геометрические теоремы.

Теорема о вписанном угле

Основная теорема, которая описывает вписанный угол, гласит:

Вписанный угол в окружности равен половине центрального угла, который охватывает тот же самый хорду.

Давайте разберемся подробнее, как это работает.

1. Центральный угол и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны проходят через концы хорды окружности. Этот угол определяет как большую, так и меньшую дугу на окружности.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на самой окружности. Он также образуется двумя отрезками, но они не проходят через центр окружности, а касаются концов хорды.

Суть теоремы заключается в том, что вписанный угол всегда в два раза меньше центрального угла, который лежит на той же дуге окружности.

2. Как вычислить вписанный угол

Чтобы найти вписанный угол, нужно:

1. Определить центральный угол, который охватывает ту же самую дугу, что и вписанный угол.

2. Разделить этот центральный угол пополам. То есть, если угол между радиусами окружности, которые проходят через концы хорды, составляет $\alpha$, то вписанный угол будет равен $\frac{\alpha }{2}$.

Пример 1:

Предположим, у нас есть окружность, и в ней проведена хорда $AB$, через которую проходят два радиуса: $OA$ и $OB$. Центральный угол, который они образуют, равен 60°. Тогда вписанный угол, образованный теми же самыми концами хорды $A$ и $B$, будет равен:

$$\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$

Пример 2:

Предположим, что центральный угол, который охватывает хорду $AB$, равен 120°. Тогда вписанный угол будет равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

3. Особенности:

• Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу окружности, будут равны между собой. Это свойство полезно, например, при решении задач с несколькими вписанными углами, которые связаны общими хордой или дугой.

• Вписанные углы, которые опираются на разные дуги, могут быть разными, но всегда будут зависеть от длины дуги, на которую они опираются.

4. Применение:

Знание теоремы о вписанном угле помогает решать задачи на нахождение углов в различных геометрических фигурах, таких как окружности с вписанными четырёхугольниками, многоугольниками или другими фигурами, чьи вершины лежат на окружности.

5. Дополнительные примечания

• Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то этот угол всегда будет прямым (90°). Это следует из того, что центральный угол в этом случае равен 180°.

• Важно помнить, что центральные углы и вписанные углы — это два основных способа, с помощью которых можно описать углы в окружности, и их взаимное соотношение (вписанный угол в два раза меньше центрального) является основным инструментом при решении подобных задач.

Заключение:

Чтобы найти вписанный угол, нужно:

1. Найти центральный угол, который охватывает ту же самую дугу.

2. Разделить его пополам. Это и будет искомый вписанный угол.

Если у тебя есть конкретный пример задачи, могу помочь с решением!