что такое синус и косинус

Синус и косинус — это математические функции, которые широко используются в тригонометрии, физике, инженерии и других областях науки и техники. Они описывают взаимосвязь между углами и длинами сторон треугольников, а также играют важную роль в изучении волновых и периодических процессов.

Давай рассмотрим их подробно.

Основное представление

Синус и косинус связаны с углами в прямоугольном треугольнике, но могут быть также определены для любого угла, включая углы больше 90°.

1. Синус (sin) угла $\theta$:

   Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащей стороны (той, которая напротив угла $\theta$) к длине гипотенузы (самой длинной стороны, которая лежит напротив прямого угла):

   $$\sin (\theta )=\frac{\text{Противолежащая сторона}}{\text{Гипотенуза}}$$

2. Косинус (cos) угла $\theta$:

   Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащей стороны (той, которая лежит рядом с углом $\theta$, но не является гипотенузой) к длине гипотенузы:

   $$\cos (\theta )=\frac{\text{Прилежащая сторона}}{\text{Гипотенуза}}$$

Единичная окружность

В более общем случае синус и косинус определяются через единичную окружность. Единичной окружностью называют окружность с радиусом 1, центр которой находится в начале координатной системы.

• Для любого угла $\theta$, который измеряется от положительной оси абсцисс (ось $x$) против часовой стрелки, точка на единичной окружности имеет координаты $(\cos (\theta ),\sin (\theta ))$.

• Это означает, что косинус угла — это абсцисса (или $x$-координата) точки, а синус угла — это ордината (или $y$-координата) этой точки.

Таким образом, если угол $\theta$ равен 0°, то точка на окружности будет иметь координаты $(1,0)$, то есть $\cos (0^{\circ })=1$ и $\sin (0^{\circ })=0$.

Для углов, равных 90°, 180°, и 270°, эти координаты будут следующими:

• $\theta =90^{\circ }$, точка $(0,1)$, то есть $\cos (90^{\circ })=0$, $\sin (90^{\circ })=1$,

• $\theta =180^{\circ }$, точка $(-1,0)$, то есть $\cos (180^{\circ })=-1$, $\sin (180^{\circ })=0$,

• $\theta =270^{\circ }$, точка $(0,-1)$, то есть $\cos (270^{\circ })=0$, $\sin (270^{\circ })=-1$.

Свойства синуса и косинуса

1. Периодичность:
   Оба этих значения — синус и косинус — периодичны, то есть они повторяются через определённый интервал. Период этих функций равен $2\pi$ радиан (или 360°). Это значит, что:

   $$\sin (\theta +2\pi )=\sin (\theta ),\cos (\theta +2\pi )=\cos (\theta )$$

2. Чётность и нечётность:

   • Косинус — чётная функция, что означает, что $\cos (-\theta )=\cos (\theta )$.

   • Синус — нечётная функция, что означает, что $\sin (-\theta )=-\sin (\theta )$.

3. Основные значения для углов:

   • $\sin (0^{\circ })=0$, $\cos (0^{\circ })=1$

   • $\sin (30^{\circ })=\frac{1}{2}$, $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$

   • $\sin (45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos (45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$

   • $\sin (60^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}$

   • $\sin (90^{\circ })=1$, $\cos (90^{\circ })=0$

Формулы и тождества

1. Основные тождества:

   • ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$ — Это фундаментальное тригонометрическое тождество, которое выражает связь между синусом и косинусом. Оно также можно использовать для нахождения значения одной функции, если известно значение другой.

2. Формулы для синуса и косинуса суммы углов:

   • $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )$

   • $\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$

3. Формулы для удвоенных углов:

   • $\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$

   • $\cos (2\theta )={\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )$

4. Преобразования через тангенс и котангенс:

   • $\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$

   • $\cot (\theta )=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$

Применения

1. В геометрии: Синус и косинус используются для решения треугольников (например, с помощью теоремы о синусах и косинусах), вычисления длин сторон и углов.

2. В физике: Синус и косинус часто появляются в уравнениях, описывающих колебания и волны, например, при анализе звуковых волн или света.

3. В инженерии: Они используются для расчётов в различных областях, таких как электрические цепи (например, в контексте переменных токов), механика, а также в обработке сигналов.

4. В анализе: Синус и косинус являются основой для работы с Fourier-анализом, который используется для представления любых периодических сигналов через сумму синусов и косинусов с различными частотами.

Заключение

Синус и косинус — это фундаментальные математические функции, которые лежат в основе тригонометрии и широко используются в различных областях науки и техники. Эти функции связывают геометрические характеристики треугольников и универсальные описания периодических процессов, что делает их важным инструментом для анализа и моделирования.