какой объем информации содержит сообщение уменьшающее информационную неопределенность в 4 раза

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно использовать концепцию информационной энтропии и понятие битов информации из теории информации.

1. Теория информации и энтропия

В теории информации информация измеряется в битах. Количество информации, которое уменьшает неопределенность, можно выразить через энтропию.

Энтропия $H$ — это мера неопределенности или неопределенности системы (в контексте информации, это неопределенность исхода случайного события). Формула для энтропии выглядит следующим образом:

$$H(X)=-\sum p(x){\log }_{2}p(x)$$

где:

• $H(X)$ — энтропия случайной величины $X$,

• $p(x)$ — вероятность наступления события $x$,

• ${\log }_2$ — логарифм по основанию 2 (поскольку измеряем информацию в битах).

Информация (измеряемая в битах) об одном событии с вероятностью $p$ выражается как $-{\log }_{2}p$. Это значение показывает, сколько бит нужно для кодирования результата этого события.

2. Понимание фразы: «уменьшающее информационную неопределенность в 4 раза»

Когда говорится, что сообщение уменьшает информационную неопределенность в 4 раза, это подразумевает, что если изначально неопределенность была $H_1$, то после получения сообщения неопределенность уменьшилась в 4 раза и стала равной $H_2$.

Если $H_1$ — это начальная энтропия (неопределенность), то уменьшение в 4 раза означает, что после получения информации новая энтропия $H_2$ будет:

$$H_2=\frac{H_1}{4}$$

Таким образом, новое сообщение уменьшает неопределенность в 4 раза. Что это означает в терминах количества информации? Давайте рассмотрим, как это связано с количеством бит.

3. Количество информации

Пусть изначально неопределенность была представлена энтропией $H_1$, и сообщение уменьшает ее в 4 раза. Количество информации, которое несет это сообщение, будет равно разнице между начальной и новой энтропией:

$$I=H_1-H_2=H_1-\frac{H_1}{4}=\frac{3H_1}{4}$$

Это количество информации измеряется в битах. То есть, сообщение содержит три четверти от исходной неопределенности в битах.

4. Пример

Чтобы проиллюстрировать на конкретном примере, представьте, что у вас есть система с двумя возможными исходами (например, подбрасывание монеты: орел или решка), с равной вероятностью:

• $p(\text{орел})=0.5$,

• $p(\text{решка})=0.5$.

В этом случае энтропия системы будет:

$$H_1=-0.5{\log }_{2}0.5-0.5{\log }_{2}0.5=1\text{ бит}.$$

Если сообщение уменьшает неопределенность в 4 раза, то новая энтропия будет:

$$H_2=\frac{H_1}{4}=\frac{1}{4}\text{ бита}.$$

Количество информации, которое несет это сообщение, будет:

$$I=H_1-H_2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\text{ бита}.$$

Таким образом, сообщение, которое уменьшает неопределенность в 4 раза, несет 0.75 бита информации.

5. Заключение