как решать пределы функции с lim

Решение пределов функции (обозначается как lim) — одна из важнейших тем в математическом анализе. Это основа для понимания производных, интегралов и непрерывности функций.

📌 Что такое предел функции?

Предел функции $f(x)$ при $x\to a$ (обозначается как ${\lim }_{x\to a}f(x)$) — это значение, к которому стремится функция $f(x)$, когда $x$ приближается к $a$ (не обязательно достигая его).

🔑 Основные виды пределов

1. Предел при $x\to a$ (конечная точка)

Пример:

$$\underset{x\to 2}{\lim }(3x+1)=3\cdot 2+1=7$$

2. Предел при $x\to \infty$

Пример:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$

3. Односторонние пределы

• Слева: ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$

• Справа: ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$

Если оба существуют и равны, тогда существует двусторонний предел.

🧠 Как решать пределы: пошаговая инструкция

Шаг 1: Попробуй просто подставить значение

Если функция определена в точке $a$, просто подставь $x=a$.

Пример:

$$\underset{x\to 3}{\lim }(x^2+2x+1)=3^2+2\cdot 3+1=16$$

Шаг 2: Если получилось неопределенность (например, 0/0), пробуй упростить

Наиболее частые неопределённости:

• $\frac{0}{0}$

• $\frac{\infty }{\infty }$

• $\infty -\infty$

• $0\cdot \infty$

• $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$

Пример:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$$

Подстановка: $\frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}$ — неопределенность

Решение:
Разложим числитель:

$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$

Тогда:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,x\ne 1$$

Теперь предел:

$$\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$$

Шаг 3: Используй формулы и теоремы пределов

📘 Стандартные пределы:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e \end{gathered}$$

Шаг 4: Применяй метод рационализации, если есть корни

Пример:

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$

Подстановка: $\frac{2-2}{4-4}=\frac{0}{0}$

Рационализация:

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

Теперь:

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$$

Шаг 5: Деление на старшую степень в пределах на бесконечности

Пример:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2+x}{2x^2-5}$$

Делим числитель и знаменатель на $x^2$:

$$\frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{5}{x^2}}\to \frac{3}{2},\text{ так как }\frac{1}{x}\to 0,\frac{5}{x^2}\to 0$$

Шаг 6: Используй правило Лопиталя, если есть неопределенность $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$

Условие: функция должна быть дифференцируема, и предел вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$

Пример:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{0}$$

Применим Лопиталя:

$$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x,\frac{d(x)}{dx}=1\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1$$

🔁 Резюме: какие методы использовать?

Хочешь — могу решить с тобой конкретные примеры или разобрать «хитрые» задачи.