как решать одночлены 7 класс

Одночлены — это такие выражения, которые состоят из произведения чисел, переменных и их степеней. В 7 классе важно научиться распознавать одночлены, оперировать с ними и решать различные задачи. Давай разберем подробно, как работать с одночленами.

1. Что такое одночлен?

Одночлен — это выражение вида:

$$a\cdot x_1^{n_1}\cdot x_2^{n_2}\cdot \dots \cdot x_k^{n_k}$$

где:

• $a$ — коэффициент (число, которое умножается на переменные).

• $x_1,x_2,\dots ,x_k$ — переменные.

• $n_1,n_2,\dots ,n_k$ — показатели степеней этих переменных, которые должны быть целыми неотрицательными числами.

Например:

• $3x^2$ — одночлен, где коэффициент $3$, а переменная $x$ возведена в степень 2.

• $5xy$ — одночлен, где коэффициент $5$, а переменные $x$ и $y$ имеют степени 1.

2. Как классифицировать одночлены?

Одночлены классифицируют по:

• Коэффициенту: это число перед переменными. Например, в одночлене $7x^3$ коэффициент равен 7.

• Степени одночлена: степень одночлена — это сумма степеней всех переменных. Например, в одночлене $2x^2{y}^3$ степень равна $2+3=5$.

• Виду переменных: одночлены могут содержать одну или несколько переменных. Например, $5x^3$ — одночлен с одной переменной, а $4x{y}^2$ — одночлен с двумя переменными.

3. Основные операции с одночленами

a) Умножение одночленов

Когда умножаем одночлены, выполняем следующие шаги:

1. Умножаем коэффициенты.

2. Перемножаем одинаковые переменные, складывая их показатели степени.

Пример:

$$(2x^3)\cdot (3x^2)=2\cdot 3\cdot x^{3+2}=6x^5$$

b) Деление одночленов

При делении одночленов:

1. Делим коэффициенты.

2. Для одинаковых переменных вычитаем показатели степени (если в числителе показатель степени больше, вычитаем из него показатель в знаменателе, если в знаменателе — наоборот).

Пример:

$$\frac{6x^5}{2x^2}=\frac{6}{2}\cdot x^{5-2}=3x^3$$

c) Возведение одночлена в степень

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно:

1. Возвести коэффициент в степень.

2. Умножить показатели степени для каждой переменной на показатель степени одночлена.

Пример:

$$(3x^{2}y{)}^3=3^3\cdot (x^2{)}^3\cdot (y{)}^3=27x^6{y}^3$$

d) Сложение и вычитание одночленов

Для сложения и вычитания одночленов нужно, чтобы у них были одинаковые переменные и одинаковые степени. В таком случае складываем или вычитаем только коэффициенты.

Пример:

$$4x^3+3x^3=(4+3)x^3=7x^3$$

Но если степени переменных разные, то такие одночлены нельзя сложить.

Пример:

$$4x^2+3x^3\text{— эти одночлены сложить нельзя, так как степени переменных разные.}$$

4. Как решать задачи с одночленами?

Для того чтобы решить задачу с одночленом, важно понять, какая операция требуется: умножение, деление, сложение или вычитание. Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Умножение одночленов

Задача: Умножьте $2x^2$ и $3x^3$.

Решение:

1. Умножаем коэффициенты: $2\cdot 3=6$.

2. Перемножаем переменные, складывая степени: $x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5$.

Ответ: $6x^5$.

Пример 2: Деление одночленов

Задача: Разделите $6x^5{y}^2$ на $3x^{2}y$.

Решение:

1. Делим коэффициенты: $6/3=2$.

2. Для переменных: $x^5/x^2=x^{5-2}=x^3$, и $y^2/y=y^{2-1}=y$.

Ответ: $2x^{3}y$.

Пример 3: Сложение одночленов

Задача: Сложите $4x^{3}y$ и $7x^{3}y$.

Решение:

1. У одночленов одинаковые переменные и степени, значит, можно сложить коэффициенты: $4+7=11$.

Ответ: $11x^{3}y$.

Пример 4: Возведение одночлена в степень

Задача: Возведите $2x^2{y}^3$ в квадрат.

Решение:

1. Возводим коэффициент в квадрат: $2^2=4$.

2. Возводим переменные в степень: $x^2\cdot x^2=x^{2\cdot 2}=x^4$, $y^3\cdot y^3=y^{3\cdot 2}=y^6$.

Ответ: $4x^4{y}^6$.

5. Как использовать одночлены в реальных задачах?

Задачи, где встречаются одночлены, могут быть разного типа. Например, в задачах на нахождение площади, объема или в задачах на скорости (когда скорость умножается на время, чтобы найти путь).

Пример 1: Задача на площадь прямоугольника

Задача: Длина прямоугольника равна $2x$, а ширина $3x$. Найдите его площадь.

Решение:
Площадь прямоугольника $S=\text{длина}\cdot \text{ширина}=2x\cdot 3x=6x^2$.

Ответ: Площадь прямоугольника равна $6x^2$.

Надеюсь, это поможет тебе разобраться в одночленах! Если есть какие-то вопросы или хочется разобрать конкретные примеры, не стесняйся, спрашивай.