какие выражения преимущественно рассматриваются в курсе основной школы

В курсе основной школы (с 5 по 9 классы) изучение выражений охватывает несколько основных категорий, включая алгебраические, логические и числовые выражения, а также их преобразования и свойства. Рассмотрим все эти темы более подробно.

1. Числовые выражения

Числовыми выражениями называют комбинации чисел и математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и другие). В основном школьном курсе рассматриваются выражения, содержащие:

Простые операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Например: $5 + 3$ , $10 - 4$ , $7 \times 6$ , $20 \div 5$ .
Сложные операции: выражения, которые включают несколько операций с применением правил приоритетов (сначала выполняются умножение и деление, затем сложение и вычитание). Например: $3 + 5 \times 2$ , $(7 + 2) \div 3$ .
Возведение в степень и извлечение корня: такие выражения изучаются начиная с 7-8 класса, например $2^3$ (возведение в степень) и $16$ (квадратный корень).

2. Алгебраические выражения

Алгебраическими выражениями называют выражения, которые содержат переменные (буквы), числа и математические операции. В 7-9 классе рассматриваются следующие типы алгебраических выражений:

Линейные выражения: такие выражения содержат переменные первой степени (без степеней больше 1), например, $3 x + 7$ , $2 y - 4$ .
Квадратичные выражения: выражения, где переменная возводится в квадрат, например, $x^2 + 5x + 6$ , $2×2−3x+42x^2 — 3x + 4$ .
Рациональные выражения: дроби, в числителе или знаменателе которых находятся полиномы, например, $2x+1x−3frac{2x + 1}{x — 3}$ .
Многочлены: выражения, содержащие несколько членов, например, $4×3+2×2−3x+74x^3 + 2x^2 — 3x + 7$ .

Среди задач, решаемых с помощью этих выражений, важными являются:

Приведение подобных членов: например, упрощение выражений типа $3 x + 2 x$ .
Решение уравнений: это может быть решение линейных уравнений (например, $3 x + 2 = 11$ ) или более сложных уравнений с квадратными выражениями.
Факториализация и разложение на множители: например, разложение выражения $x^2 — 9$ на множители как $(x - 3) (x + 3)$ .

3. Логические выражения

В старших классах начинают изучать логические выражения, которые используются для анализа и решения задач с логикой и множествами. Основные понятия:

Логические операции: И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция), НЕ (отрицание), импликация и эквивалентность.
Таблицы истинности: используются для анализа логических выражений, чтобы понять их поведение при разных значениях входных переменных.
Применение в алгебре логики: работа с логическими выражениями помогает в решении задач на преобразования формул и доказательства их истинности или ложности.

4. Формулы и выражения в геометрии

Геометрические выражения включают использование алгебраических и числовых выражений для нахождения площадей, объемов, длин, углов и других параметров геометрических фигур.

Площадь и периметр прямоугольника, треугольника, круга: например, площадь прямоугольника $S = a \times b$ , где $a$ и $b$ — длины сторон.
Площадь треугольника через полупериметр: например, формула Герона для площади треугольника.
Объемы геометрических тел: например, объем куба $V = a^3$ , объем цилиндра $r^2 h$ .

5. Производные и интуитивные представления

На более поздних этапах школьного курса, особенно в 9 классе, начинают рассматривать элементы анализа (неформально):

Скорость изменения (или производная) функции. Например, как изменение одного параметра (например, цены на товар) зависит от другого.
Графики функций: определение, что такое график линейной или квадратичной функции, нахождение пересечений с осями координат.

6. Рациональные и иррациональные выражения

Школьники изучают выражения, которые включают как рациональные, так и иррациональные числа:

Рациональные числа: числа, которые могут быть представлены в виде дроби $abfrac{a}{b}$ , где $a$ и $b$ — целые числа, а $b \neq = 0$ .
Иррациональные числа: числа, которые не могут быть записаны в виде дроби, например $2$ , $π$ .

Также школьники изучают преобразование таких выражений, например, преобразование радикалов или умножение/деление с иррациональными числами.

7. Тригонометрические выражения

В 8-9 классах начинается введение в тригонометрию:

Основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс. Знакомство с их значениями для углов в градусах и радианах.
Применение тригонометрических выражений: например, нахождение длины стороны в прямоугольном треугольнике с использованием теоремы Пифагора и тригонометрических функций.

8. Модуль числа

Модуль числа $∣ x ∣$ — это выражение, которое показывает расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Примеры:

$∣5∣ = 5$
$∣ - 3∣ = 3$

Модуль используется для решения задач с абсолютными величинами, а также для работы с неравенствами.

Заключение

В курсе основной школы особое внимание уделяется обучению преобразованию выражений, решению уравнений, упрощению и анализу различных типов выражений — от простых числовых до сложных алгебраических и геометрических. Учебный процесс основывается на понимании структуры выражений, их свойствах и возможностях упрощения или преобразования для получения более простых и понятных решений.

Основной акцент делается на развитие логического и аналитического мышления у школьников, а также на применении полученных знаний в решении реальных задач.