как решать систему уравнений методом сложения

Решение системы уравнений методом сложения (или методом алгебраического сложения) — это один из способов найти значения переменных, при которых оба уравнения системы выполняются одновременно.

📌 Суть метода сложения:

Идея метода — сложить (или вычесть) два уравнения так, чтобы одна из переменных сократилась, то есть исчезла, и осталась одна переменная. После этого решается обычное линейное уравнение с одной переменной, и затем найденное значение подставляется в одно из исходных уравнений для нахождения второй переменной.

🧮 Пошаговый алгоритм:

Допустим, дана система двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1(1)\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2(2)\end{array}$$

✅ Шаг 1: Привести одноимённые коэффициенты к противоположным значениям (если нужно)

Если ни один из коэффициентов при $x$ или $y$ не противоположны, то домножаем одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали равными (по модулю), но с противоположными знаками.

✅ Шаг 2: Складываем уравнения

Складываем левую и правую части уравнений покомпонентно. Переменная, коэффициенты которой были противоположны, исчезает.

✅ Шаг 3: Решаем полученное уравнение с одной переменной

Обычное линейное уравнение, например: $3y=9\Rightarrow y=3$

✅ Шаг 4: Подставляем найденное значение переменной в одно из исходных уравнений

Это позволит найти значение второй переменной.

✅ Шаг 5: Записываем ответ

Ответом будет пара чисел $(x,y)$, которая является решением системы.

✏️ Пример 1: простая система

Решим систему:

$$\{\begin{array}{l}2x+y=5(1)\\ 3x-y=10(2)\end{array}$$

🔹 Шаг 1: Обратим внимание на коэффициенты при $y$: $+1$ и $-1$

Они уже противоположны, поэтому можно сразу складывать уравнения.

🔹 Шаг 2: Складываем уравнения:

$$(2x+y)+(3x-y)=5+10$$
$$2x+3x+y-y=15$$
$$5x=15\Rightarrow x=3$$

🔹 Шаг 3: Подставим $x=3$ в любое из уравнений (например, в первое):

$$2x+y=5\Rightarrow 2\cdot 3+y=5\Rightarrow 6+y=5\Rightarrow y=-1$$

✅ Ответ:

$$(x,y)=(3,-1)$$

✏️ Пример 2: нужно предварительно домножить

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=7(1)\\ 5x-2y=3(2)\end{array}$$

🔹 Шаг 1: Сделаем коэффициенты при $y$ противоположными

Коэффициенты при $y$: $+3$ и $-2$. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел: НОК(3, 2) = 6.

• Домножим первое уравнение на 2:

  $$4x+6y=14(1^{\prime })$$

• Домножим второе уравнение на 3:

  $$15x-6y=9(2^{\prime })$$

🔹 Шаг 2: Складываем новые уравнения (1′) и (2′):

$$(4x+6y)+(15x-6y)=14+9$$
$$4x+15x+6y-6y=23$$
$$19x=23\Rightarrow x=\frac{23}{19}$$

🔹 Шаг 3: Подставим $x=\frac{23}{19}$ в одно из уравнений (лучше в исходное):

Возьмём уравнение (1):

$$2x+3y=7\Rightarrow 2\cdot \frac{23}{19}+3y=7$$
$$\frac{46}{19}+3y=7\Rightarrow 3y=7-\frac{46}{19}=\frac{133-46}{19}=\frac{87}{19}\Rightarrow y=\frac{29}{19}$$

✅ Ответ:

$$(x,y)=\left(\frac{23}{19},\frac{29}{19}\right)$$

🧠 Советы:

• Если сразу есть противоположные коэффициенты — метод сложения особенно удобен.

• Если ни один коэффициент не совпадает по модулю, подумайте: проще домножать по $x$ или по $y$?

• Метод сложения эффективен и при решении более сложных систем, включая системы из 3 уравнений (но это уже требует больше шагов).

Хочешь, я покажу ещё пример с дробями, с отрицательными коэффициентами, или с 3 переменными?